Mathématiques 
source: oulipo.net
Mathématiques, Livres, Créations, Culture, Cogitations
A la mémoire de Benoît Mandelbrot, décédé en octobre 2010. RIP.
Introduction
Fractales Définition : Terme créé par Benoît Mandelbrot en 1975 désignant l'une des plus grandes découvertes de la physique du XXe siècle avec celle de la relativité et de la mécanique quantique. Source
D'un point de vu mathématique, une fractale est un "objet géométrique défini par un ensemble de propriétés précises, dont celle d'être auto-similaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à l'une de ses parties; Désigne une forme dont l'aspect ne change pas quelque soit l'échelle à laquelle on observe celle-ci" Source
L'univers fractal :
Nous vivons dans un univers fractal, fait de multiples univers imbriqués comme des poupées Russes.
Cela devient d'autant plus évident lorsqu'on observe celui-ci depuis différentes échelles et points de vues.
Prenons l'exemple d'un verre d'eau à l'échelle atomique. Un seul verre d'eau contient plus d'atomes que tous les océans du globe ne contiennent de verres d'eau.
Il y a environs 100.000 milliards de cellules dans l'être humain et environs 1000 Milliard d'atomes dans une simple cellule (soit 10^25 -> 100000000000000000000000000 Atomes).
Pour un atome donné, si nous nous approchions suffisamment pour visualiser le noyau atomique comme une tête d'épingle, son électron le plus proche graviterai à plus de 120metres, soit la longueur d'un stade de football.
La matière est donc composée principalement de vide, et les distances qui séparent les différentes particules d'énergies à l'échelle quantique sont aussi gigantesques en proportions que celle qui séparent les étoiles entre elle à une échelle immensément plus grande.
Ceci afin de mieux concevoir la fractalité de notre univers, ou de nos univers, tout du moins, pour ce qui est de l'illusion que nous arrivons à percevoir en se basant sur des notions de physique et de mathématique uniquement (laissons le coté spirituel à d'autres sujets de ce site 
)...
On ne peu pas demander à une fourmi de concevoir la terre, comme il est difficile de demander à une cellule de concevoir l'humain, et l'humain de concevoir l'éternité. Cependant, grâce aux fractales de Mandelbrot, cette notion est de nos jours plus accessible et palpable par des images et des animations visuelles explicites.
D'un point de vu plus large, il y a environs 200 milliards d'étoiles dans notre voie lactée, elle s'étend sur un diamètre de 100 000 années lumières. Il y a en moyenne de distance entre chaque galaxie plus d'1 million d'années lumières, et une année lumière représente 10 000 Milliards de Kilo Mètres.
Imaginons un point, ce point est notre univers connu (en théorie et à la date d'aujourd'hui). Si l'on se rapproche, le point se transformera en multiples filaments de points contenant des amas de galaxies. Puis nous nous dirigeons vers un amas de galaxie que nous distinguons comme un point plus brillant, nous continuons à nous rapprocher de ce point et découvrons plusieurs autres petits points qui sont des galaxies, nous rapprochant d'un des points galaxie, nous constatons qu'il contient des milliards de petits points qui sont les étoiles.
Nous nous rapprochons alors d'un de ces points et constatons d'autres petits points gravitant autours qui sont les planètes.
En nous rapprochant d'un de ces points, en l'occurrence la Terre, nous constatons qu'il contient des océans, des terres, des forets, et des milliers de points plus "gris", les villes.
En nous rapprochant d'une ville, nous voyons des millions de petits points qui bougent, les hommes.
En nous rapprochant d'un des points hommes, nous constatons qu'il est un univers à lui tout seul, composé de milliards de points cellules, qui contiennent elles aussi des milliards de points atomes, etc etc ...
Voici en mathématique, une courbe de Von Koch :
Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l'invention du terme « fractal(e) »).
Elle a été inventée en 1906 par le mathématicien suédois Helge von Koch (1870 - 1924).
On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :
1. on divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales,
2. on construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape,
3. on supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.
La courbe de Koch a une longueur infinie parce qu'à chaque fois qu'on applique les modifications ci-dessus sur chaque segment de droite, la longueur totale augmente d'un tiers.
Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces objets ont une structure auto-similaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige, les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli, et les vaisseaux sanguins.
Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent êtres modélisés par ordinateur à l'aide d'algorithme récursif comme les L-Systems. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de nature similaire.
La surface d'une montagne peut être modélisée sur ordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l'algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.
Enfin, certains astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l'Univers à six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l'univers fractal, décrivant un univers basé sur les fractales.
Source
Vidéos
D'une nature Fractale
Zoom d'une fractale de Mandelbrot
Differentes perception de fractales dans la nature
Zoom d'une matière plastique
Citations
Confucius "Le tout est plus grand que la somme des parties."
Peter S.Stevens Architecte, auteur du livre "Les formes dans la nature" aux éditions du Seuil :
"Parmi les formes visibles, la nature a ses préférées, dont les spirales, les méandres, les ramifications et les raccords à 120 degrés.
Ces structures se répètent sans cesse.
La nature se comporte comme un metteur en scène qui utilise les mêmes acteurs chaque soir dans des costumes différents pour des rôles différents.
Chaque acteur a un répertoire limité : les pentagones font la plupart des fleurs mais pas les cristaux, les hexagones ont la charge des structures répétitives à deux dimensions mais ne remplissent jamais l'espace à trois dimensions. Au contraire, la spirale est la versatilité même, intervenant dans la réplication du plus petit virus aussi bien que dans la répartition de la matière au sein de la plus vaste galaxie.
Un regard dans les coulisses révèle que la nature n'est pas libre dans le choix des rôles. Ses productions sont des opérations à bon marché, entravées par les contraintes de l'espace à trois dimensions et par un souci incroyable de frugalité. L'espace permet à la nature de produire cinq polyèdres réguliers, pas plus; sept systèmes cristallins sont utilisables, jamais un huitième. La dimension absolue empêche à tout jamais le lion de voler et le rouge-gorge de rugir.
Chaque acte, dans ses moindres détails, est régi par des règles impératives."
Source
Images
Image simulée d'une mince tranche de l'univers. La structure en toile d'araignée des amas de galaxies semble lier ensemble ces amas par des filaments de matière.
Source
Neurones dans un cerveau Humain
Sable sur la plage
Les rocheuses au canada vu satellite
Discussions sur l'ancien forum
Voici quelques échanges sur notre ancien forum au sujet des fractales :
Sylvain :
A l'échelle de l'univers, le point (ou pixel) de base est le super-amas de galaxie. Le système solaire est donc un micro-point dans un micro-point dans un micro-point. Bref, un minuscule détail dans un recoin profond du fractal de l'Univers...
La région du Soleil
L'amas de galaxie dans lequel nous nous trouvons est appelé "amas local". Ses 2 plus grosses galaxies sont notre galaxie, la Voie Lactée, et la galaxie d'Andromède (avec laquelle notre galaxie est appelée à fusionner dans 2 milliards d'années)
Notre "amas local" est l'un des amas qui composent le "super-amas de la Vierge":
En zoomant encore un peu en arrière, voici la région du super-amas de la Vierge:
En s'éloignant encore, on distingue les "filaments" qui sont formés par les super-amas de galaxies, à l'échelle de l'univers :
La structure de l'univers...
Valérie :
Les fractales et la musique :
"Le compositeur Charles Dodge, directeur du Center for Computer Music du Brooklyn College, associe les fractales à une auto-similarité fondamentale qui a toujours existé dans la musique classique. « La prise de conscience de l'auto-similarité abonde dans des études sur la structure musicale », dit Dodge.
Non seulement les compositeurs contemporains ont pu observer les similitudes entre géométrie fractale et structure esthétique traditionnelle de leur art, mais certains ont employé la technologie actuelle des fractales dans quelques-unes de leurs compositions.
Prix Pulitzer, le compositeur Charles Wuorinen déclara avoir été inspiré en 1977 par la lecture du livre de Mandelbrot sur la géométrie fractale.
Fasciné par l'idée du « comportement des parties de la nature » que l'ouvrage véhiculait, il écrivit plusieurs œuvres en utilisant les algorithmes fractals. L'une d'elles, intitulée Bambula Squared, fut composée pour bande magnétique quadriphonique et orchestre et fut jouée par le New York Philarmonic en 1984. Selon Wuorinen, ces pièces musicales furent créées grâce à la découverte du « bon » algorithme, itéré par la suite comme une fractale aléatoire. Le bon algorithme est celui qui crée des nuances en équilibrant la stochasticité et les caractéristiques auto-similaires.
L'œuvre qui en découle force celui qui l'écoute à interagir constamment avec la musique en la reconnaissant comme une nuée de sons de toute évidence ordonnés et similaires les uns par rapport aux autres mais aussi constamment inattendus et différents. Cette perception de l'attendu inattendu est une facette essentielle de l'expression créative. Elle renouvelle sans cesse la tension entre ordre et chaos. C'est ce que Paz appela « vision vertigineuse et transversale qui révèle l'univers non pas comme une succession... mais comme un ensemble de mondes en rotation."
Source
Sylvain :
Comme c'est prévu par le modèle des supercordes, dans certaines dimensions, il n'y a ni temps ni espace. Autrement dit, tous les temps y existent simultanément.
Dès lors, le présent pourrait être attiré par son futur qui agirait comme un attracteur.
C'est ce qui pourrait aussi expliquer les phénomènes de prescience des événements.
Dans certains états de la conscience, il semble y avoir une communication ou une symbiose de l'esprit avec ce niveau de la réalité où temps et espace sont abolis. Nous pouvons "voir le futur".
Cela n'induit pas pour autant un déterminisme. Tout n'est pas écrit. Nous ne voyons que des futurs possibles, dont la probabilité fluctue en permanence en fonction de nos pensées et actions accumulées.
Plus l'événement est proche, plus les probabilités sont établies de façon quasiment définitive. C'est un peu comme un sondage bouclé à 2000 personnes; quand 1900 ont déjà répondu, les 100 derniers ne changent pas beaucoup le résultat. Ceci dit, il est quand même possible de modifier radicalement les causalités à la dernière minute par une pensée ou une action décisive, surtout si le jeu est serré, avec peu d'écart entre les probabilités les plus "lourdes"...
Mais il est possible que ces fluctuations soient malgré tout guidées, attirées par un "rêve" qui attire à lui les événements, en étirant les probabilités. Un rêve qui émanerait à la fois de cette "meta-conscience" (à l'échelle de l'univers) mais aussi des êtres conscients (à l'échelle de leur vie et de leur monde).
Le rêve serait lui aussi une co-création... fractale !
A dream within a dream...
Valérie :
Oui, c'est exactement ça!... Je viens d'ailleurs de tomber sur un article intéressant qui rejoint cette idée d'un Temps fractal, et qui nous fait sortir de ce temps "linéaire et unidimensionnel"...
Joël de Rosnay "L'homme Symbiotique" :
Il semble que la densité des informations, sorte de " masse critique informationnelle ", crée une " bulle temporelle " ayant des constantes d'évolution propres. De même que la masse d'une étoile " courbe" l'espace-temps, ainsi que le montre la théorie de la relativité, une masse critique d'information de très haute densité - résultant de multiples interactions, traitements parallèles et réseaux ramifiés de communication - " densifie " le temps. Les processus évolutifs pourraient donc être représentés dans des bulles temporelles, certes coexistant à un moment donné, mais présentant en interne des vitesses et donc des potentialités d'évolution, d'auto-sélection et d'exclusion compétitive très différentes par rapport à celles d'autres bulles. Cette représentation me paraît introduire une nouvelle dimension dans l'appréciation des phénomènes évolutifs complexes (…)
Évolution, information et temps potentiel
Une voie nouvelle serait sans doute à rechercher, comme je le propose dans " l'Homme Symbiotique " du côté des relations entre le temps et l'information. On peut se demander en effet si la vitesse (perçue) de l'écoulement du temps ne serait pas liée à celle de la production d'information. Je propose en effet de considérer l'information comme du temps potentiel, comme une " réserve de temps ". Plus nous créons de temps potentiel, plus nous compensons indirectement l'écoulement du temps universel. Pour mieux justifier cette proposition, il me faut revenir à des analyses faites dans " Le Macroscope " et dont je résume ici les grandes lignes.
Nous sommes enfermés dans ce que j'ai appelé le "chrono-centrisme", la prison du temps. Nous ne pouvons expliquer le monde que de la cause vers l'effet. Nous avons ainsi associé causalité linéaire et chronologie, les causes précédant toujours les effets. Cette vision du monde est celle de l'explication par les causes, de la réduction de la complexité par l'analyse.
Mais la cybernétique a ouvert une autre voie. Dans une boucle de rétroaction, la causalité est circulaire : la flèche du temps se referme sur elle-même. Les effets peuvent précéder leurs causes. Le sens de l'avant / après est bouleversé, la chronologie mise à mal. De ce fait, explication et implication ; savoir et sens ; causalité et finalité ; déterministe et finalisme, apparaissent comme autant d'alternatives irréductibles liées au problème du temps. Car c'est la référence à un unique sens de l'écoulement du temps qui les renvoie dos à dos. Celui du temps universel mesuré par les horloges, du temps de l'entropie croissante, de la désorganisation de l'univers selon le deuxième principe de la thermodynamique. Celui aussi de notre vie fléchée vers la mort, que nous faisons coïncider avec le temps de l'évolution du monde.
Mais il existe, on le sait, une évolution, en apparence, opposée au temps de l'entropie. L'évolution de l'accroissement de la complexité, de la création d'informations originales que l'on constate dans l'évolution biologique et dans l'évolution technico-sociale. Au principe de la thermodynamique pourrait être opposée, selon les termes que j'emploie dans " l'Homme Symbiotique ", un principe de la symbionomique : l'auto-organisation de la matière vers des systèmes de complexité croissante.
(…) La mise en parallèle de temps séquentiels contribue également à densifier le temps. Ordinateurs parallèles, réseaux de neurones, fourmilière, marché, bourse et réseaux télématiques sont des multiprocesseurs qui transforment des temps séquentiels en temps parallèles. La quantité d'information disponible pour chaque personne, mesurable en bits par neurones et traitée par les prothèses du cerveau, progresse de manière exponentielle. L'intensité du temps (le flux de chronons) s'accroît. Des bulles temporelles se forment et évoluent dans leur dynamique propre. La création d'informations originales, la mise en réseau et en parallèle d'informations, leur mémorisation dans des banques de données, "courbent" l'espace-temps en produisant un bassin, un attracteur.
Le temps fractal
La création de temps potentiel peut être replacée dans le contexte des systèmes chaotique au sein desquels une multitude d'agents produisent et diffusent de l'information en parallèle. Les systèmes complexes qu'ils créent forment autant de bulles temporelles évoluant simultanément.
(…) Chaque bulle temporelle créée par un système complexe (organisme vivant, société) constitue, à mon sens, une bulle temporelle fractale. Elle est le reflet du macro et du micro. Comme toute structure fractale elle contient en germe la structure d'ensemble. Le temps symbionomique que je propose ne serait pas linéaire, mais fractal. Chaque bulle temporelle créée par un système complexe exprime des densités différentes du temps. Ces temps coexistent car leur évolution est mesurée par le même temps universel.
Ces bulles temporelles forment donc des ensembles contemporains, hiérarchiquement organisés en fonction de leur densité temporelle. C'est la création de bulles fractales nouvelles au sein de celles qui existent déjà qui correspond, à mon sens, au phénomène d'émergence. Quand leur densité temporelle forte révèle brusquement leur présence au sein de bulles à densité faible, on parle de mutation ou d'explosion. Ce qu'on appelle "révolution d'ordre technologique" (révolution industrielle, biologique ou numérique), "explosion d'un secteur sur lui-même" ou encore "mutation décisive", représente l'éclosion d'une bulle temporelle au sein de notre univers de référence. Il y a prise de conscience, soudaine et collective, de l'existence d'un système complexe en évolution accélérée. Il y a perception d'une densité plus forte du temps et de la "courbure" particulière de notre espace-temps familier par suite de la genèse d'une masse critique d'information. (Article dans son intégralité > Source)
xo :
Comparaison d'échelle
Distance depuis l'observateur : ~ 7000 années lumières
Nom : nébuleuse de l'aigle M16
Type : Pouponnière d'étoile, reste d'explosion de supernova.
Durée de vie : ~ 10 000 années
Fin de vie : disparition progressive du nuage, condensation des gaz et matières en étoiles / planètes et systèmes solaires à cause de la gravité.
Distance depuis l'observateur : ~ 20 km
Nom : Cumulus Tower (ou congestus) / pré-cumulonimbus
Durée de vie : ~ quelques heures (avant de se transformer en cumulonimbus)
Fin de vie : formation de gouttelettes d'eau plus lourdes qui donne de la pluie / grêles qui tombent ensuite au sol à cause de la gravité, éclairs, orages.
Voici un bel exemple d'observation similaire (nuage de gaz), mais d'un point de vu fractal -> dimensions totalement incomparables, et pourtant ...
Références
Syti.net Univers
Syti.net Exploration d'une fractale de Mandelbrot
Les Fractales.free.fr
Mandelbulb Fractales 3d
Blog syti.net
L'univers est fractal
La gravité créé un ordre fractal dans l'univers
Cosmobranche
Applications
GECIF : Lien de téléchargement
Win Xp / 98
Comment faire des fractales avec GECIF sous windows xp / 98 max, et au mieux sous DOS.
Lien 1
Lien 2
FRACTAL EXPLORER - FE 200 : Lien de téléchargement
Win xp / 2K / Vista
Créer gratuitement de remarquables fractales.
Variantes des fractales de Mandelbrot et de Julia, fractales orbitales, IFS (Iterated Fractal Systems) et attracteurs/IFS 3D sont autant d'objets générés par Fractal Explorer. Ce logiciel propose 110 familles de fractales, 98 filtres et 11algorithmes de palettes. Rendus de paysages par fractales, lissage, construction de fractales et d'IFS, compilation de formules, etc. font partie des fonctions offertes. Obtention de clips .avi, sauvegarde d'images en format .jpg ou .bmp, chargement et sauvegarde de palettes et formules construites sont aussi possibles. Une remarque : le fichier d'aide est écrit en russe, ce qui peut présenter quelques difficultés si vous n'êtes pas familier avec cette langue. Mais vous ne devriez pas en fait rencontrer de problème pour comprendre comment fonctionne ce programme en anglais.
Mise à jour : 03/12/10 18h00
Univers, Physique, Mathématiques
1 commentaire
11.07.2021 - 09h56
